Родился 12 июня 1957 года в Ленинграде.

Ранние годы

В 1978-1980 годах проходил срочную службу в армии. В 1980 году начал работать комплектовщиком на Ленинградском экспериментально-исследовательском заводе Ленинградского института водного транспорта. Затем поступил в этот институт, который окончил в 1985 году по специальности «инженер-экономист».

С 1988 года занимался кооперацией. Основал кооператив "Кемп", несколько предприятий, затем компания "Ибарил-Инвест", зарегистрированной на Гибралтаре, позже совместное советско-испанское предприятие «Норд-Кемп», ЗАО «Лесная биржа».

Политическая деятельность

В политику пришёл в 1996 году. Патроном его выступил Вадим Густов, который в том же году был избран на должность губернатора Ленинградской области. Нелидова был назначен председателем областного комитета по лесопромышленному комплексу и вице-губернатором. На этих должностях он защищал интересы крупного бизнеса. В сентябре 1999 года вернулся в бизнес, специализируясь на заготовке и торговле лесом. В течение последующих 3 лет плотно занимался предпринимательской деятельностью, в том числе будучи генеральным директором Беломоро-Онежского пароходства. В 2001 году вновь занялся политикой. Нелидов был избран депутатом Законодательного собрания Ленинградской области третьего созыва. В 2004 году был избран заместителем председателя ЗС ЛО. Весной 2006 года Указом главы РК С.Л.Катанандова от 10 марта 2006 года был назначен сенатором Совета Федерации от Республики Карелия. 12 апреля 2006 он сложил с себя полномочия депутата Законодательного Собрания Ленинградской области. На должности сенатора был до марта 2010 года, когда досрочно сложил полномочия, освободив место для Девлетхана Алиханова.

1 июля 2010 года, после досрочной отставки Сергея Катанандова с поста руководителя республики, назначен исполняющим обязанности Главы Республики Карелия. 21 июля утверждён в должности Главы республики. После вступления в должность заявил о намерении сохранять свой пост в течение двух пятилетних сроков и не продолжать политику, проводившуюся его предшественником Сергеем Катанандовым. Приоритетными направлениями в развитии республики были обозначены туризм и лесопромышленный комплекс.

28 июля он официально вступил в должность премьер-министра Правительства Республики Карелия, освободив от должности Павла Чернова.

16 августа 2010 года по инициативе Нелидова карельский парламент принял закон «О внесении изменений в Конституцию Республики Карелия», по которому с 27 августа 2010 года должность Премьер-министра правительства Карелии упразднена, а Глава республики получил полномочия формировать правительство без согласования с Законодательным собранием РК.

22 мая 2012 года освобождён от должности по собственному желанию.

Последующая карьера

В январе 2013 года назначен директором музея-заповедника «Кижи», что вызвало определенный резонанс в обществе.

Дважды женат, имеет четверых детей - трех дочерей от первого брака, сына от второго, - и двоих внуков.